Nosso objetivo nesta página é apresentar alguns resultados de nossas pesquisas sobre o ensino da simetria ortogonal na escola, bem como discutir de que forma a informática pode auxiliar na resolução de alguns problemas da aprendizagem deste conceito.

A Simetria na Escola

A simetria é uma área de estudo muito rica em problemas envolvendo noções matemáticas. Porém, mesmo antes da formalização desse conhecimento na escola, as crianças desenvolvem uma noção perceptiva, e até intuitiva da simetria, como por exemplo ao se olharem no espelho, ao jogarem com outras crianças, ao observarem as plantas ou o próprio corpo. Ou seja, a simetria é um conceito que pode ser observado desde cedo e que mais tarde a matemática irá ajudar a formalizar.

No senso comum, o conceito de simetria está associado a idéia de harmonia e de igualdade entre as partes que formam um objeto. À partir desta idéia, a escola começa a formalizar as primeiras noções de simetria já nas séries iniciais e esse estudo deve evoluir de maneira tal que, ao final do ensino elementar, o aluno seja capaz de compreender a transformação de uma figura através da simetria, mas também por meio de reflexões, translações e rotações.

Uma Dificuldade dos Alunos no Estudo da Simetria

Pesquisas sobre esse tema [Grenier(1988); Tahri(1993)] mostram que mesmo após vários anos de atividades escolares, alguns alunos ainda apresentam dificuldades em resolver corretamente problemas que envolvam noções de simetria. Mas porque isto acontece, quando a simetria nos parece um conceito extremamente natural a ser compreendido ?

Em uma situação de classe tradicional, o ensino da simetria começa através da apresentação de exemplos pelo professor. Uso de espelhos, dobraduras de papel e folhas de árvores são os mais usuais. Em seguida, o professor pode propor um problema onde os alunos possivelmente irão utilizar conceitos matemáticos para resolvê-lo. À medida que a complexidade e a quantidade de problemas resolvidos aumentam é possível observar-se classes de soluções dadas pelos alunos. Estas soluções são sustentadas pelas noções, corretas ou incorretas, que os alunos possuem da simetria. Por exemplo, uma noção bem difundida entre os alunos é a do paralelismo. Ela aparece claramente em problemas onde o professor pede ao aluno que desenhe o simétrico de um segmento e em seguida justifique a sua construção. Alguns alunos justificam seu desenho dizendo que o novo segmento é simétrico ao primeiro porque eles são paralelos. Da mesma forma, ao se deparar com dois segmentos paralelos, este aluno poderá deduzir que eles são simétricos. E neste caso, ele terá razão !

Veja a figura 1 a seguir, ela apresenta três situações onde os segmentos AB e A´B´ são paralelos e em duas delas (figuras 1-1 e 1-3), eles são também simétricos com relação à reta d. Este exemplo mostra justamente que a noção de paralelismo é estável e resiste porque ela funciona para alguns problemas.

Mas e neste caso, o que fazer ?

Nossa Proposta

Certamente é necessário o desenvolvimento de novos materiais didáticos que proporcionem aos alunos oportunidades de descobrirem princípios, propriedades e relações lógicas, onde eles possam experimentar suas hipóteses, fazer conjecturas, demonstrar e inferir suas respostas. Entendemos então que a utilização de ambientes computacionais interativos pode constituir-se em um desses meios didáticos onde noções incorretas são mais suscetíveis de serem desestabilizadas. Como exemplo de tais ambientes encontram-se os sistemas tutores inteligentes, os agentes pedagógicos artificiais, ambientes de suporte ao ensino à distância, entre outros.

Sendo assim, nosso trabalho sobre o ensino da simetria pode ser descrito por dois eixos principais. O primeiro se interessa à desenvolver mecanismos computacionais para identificar que noções cada aluno possui sobre a simetria, como um diagnóstico. O segundo visa desenvolver sequências de ensino adaptáveis à cada aluno de acordo com o diagnóstico feito.

Baghera

Para realizar este trabalho nós utilizamos Baghera [Pesty(2001); Webber(2001)]. Baghera é uma plataforma de ensino a distância que possui uma interface para a resolução de problemas de demonstração em geometria. Para saber mais sobre a importância da demonstração na aprendizagem da matemática nos recomendamos a leitura de Balacheff (1999).

Para utilizar Baghera basta, através de um navegador internet, se conectar ao site Baghera, escolher um perfil (aluno ou professor) e fornecer a sua senha. A figura 2 mostra a interface de conexão de Baghera.

Figura 2. Conexão à Baghera

Inúmeras funcionalidades estão disponíveis aos alunos, sendo as mais importantes: construir demonstrações, obter a verificação automática das suas demonstrações e se comunicar com outros alunos e professores conectados. Quanto aos professores, estes podem criar novos problemas, enviar aos alunos, supervisionar suas atividades e se comunicar com alunos e professores conectados. A figura 3 apresenta a interface de resolução de problemas do aluno.

Baghera é um projeto em pleno desenvolvimento. Se você deseja saber mais ou gostaria de utilizá-lo, entre em contato conosco.

E por que Baghera ? Porque nosso objetivo é desenvolver uma sociedade de agentes artificiais, na forma de programas específicos, com habilidades de interagir visando a aprendizagem das crianças. Só que agora, ao contrário da famosa história, os seres humanos farão parte da aventura…

Referências Bibliográficas

Balacheff, N. Apprendre la preuve. In: Sallantin J., Szczeciniarz J. J. (eds.) Le concept de preuve à la lumière de l'intelligence artificielle (pp.197-236). Paris: PUF. 1999.

Grenier, D. Construction et étude du fonctionnement d'un processus d' enseignement sur la symétrie orthogonale en sixième. Tese de Doutorado, IMAG, Université Joseph Fourier. 1988.

Tahri, S. Modélisation de l'Interaction Didactique: un Tuteur Hybride sur CABRI-GÉOMÈTRE pour l'Analyse de Décisions Didactiques. Tese de doutorado, IMAG, Université Joseph Fourier. 1993.

Pesty, S., Webber, C., Balacheff, N. Baghera : une architecture multi-agents pour l'apprentissage humain. In: Agents Logiciels, Cooperation, Apprentissage et Activité Humaine ALCAA 2001, Biarritz, France. pp.204-214. 2001.

Webber, C., Bergia, L., Pesty, S., Balacheff, N. (2001) The Baghera project: a multi-agent architecture for human learning. In: Proceedings of the Workshop Multi-Agent Architectures for Distributed Learning Environments, AIED2001, San Antonio, TX, USA. pp. 12-17.

Você quer saber mais sobre o Baghera ? Publicações sobre a plataforma Baghera podem ser encontradas aqui.

Você quer saber mais sobre a Prova ? Publicações sobre a Prova na Matemática podem ser encontradas no site La Lettre de la Preuve (em Francês, Inglês e Espanhol).