Un acertijo publicado por la SOAREM (Sociedad Argentina de Educación Matemática), allá por julio de 2000, planteaba lo siguiente: Hay que colocar en un tablero de 6 x 6, doce fichas de manera que queden dos por fila y columna. La consigna del mencionado acertijo tenía varias soluciones (era un acertijo/entrenamiento para niños). Entonces se me ocurrió plantear un contra desafío, para gente grande, a la Sociedad, con lo siguiente:

1 - ¿De cuantas formas distintas pueden ubicarse las doce fichas, de manera que queden dos por fila y columna?

Cuidado: dos soluciones que se obtengan por rotaciones o simetrías no se consideran diferentes entre sí. Por ejemplo: 1) la solución del tablero B es la misma que la del tablero A, pues se obtiene de aquella mediante una rotación de 90°. 2) La solución del tablero C es la misma que la del tablero A, pues se obtiene de aquella mediante una rotación de 180°, pero además es una de las simetrías (en el sentido de las flechas) de la figura A.

2 - ¿Habrá algún sistema que permita determinar la cantidad pedida en 1? (Sin buscar una por una, «a fuerza bruta», cada una de las soluciones).

Mi contra-desafío fue publicado el 24 de setiembre de 2000, en la columna de SOAREM, en el diario La Voz del Pueblo de Tres Arroyos. Posteriormente, lo hice llegar a varios profesionales de los juegos, y, por último, el acertijo fue publicado en la revista Humor & Juegos, Nº 2 (o 106) de Ediciones de Mente, Buenos Aires, Argentina, en la sección Lectores al Poder, en abril de 2001. En todos los casos, sin que nadie haya obtenido la/s respectiva/s solucion/es.
Cabe consignar que tampoco, he encontrado solución para las dos preguntas, salvo un número, que encontré para la pregunta número 1, producto de buscar todas las soluciones posibles en un plano, computadora mediante, y que, al no encontrar un sistema de conteo, no se si es válido.

LA COLA

Pensando en el acertijo en cuestión, se me ocurre lo siguiente:

3 - ¿De cuantas formas distintas pueden ubicarse dieciséis fichas en un tablero de ocho por ocho, tal que queden dos por fila y columna, formando en la cuadrícula, un dibujo simétrico?

Van dos ejemplos de soluciones simétricas.

Es de destacar que el armado de estos dibujos simétricos, hace olvidar las rotaciones y reflexiones, por lo que tendría que facilitarse la resolución del mismo.

4 - ¿Habrá algún sistema que permita determinar la cantidad pedida en 3? (Sin buscar una por una, "a fuerza bruta", cada una de las soluciones).

Volviendo al tema de las rotaciones y simetrías planteadas en el acertijo original, si tomamos del ejemplo las figuras a y b, (en un plano), tendríamos dos soluciones. Si tenemos en cuenta el planteo de la rotación, sería una sola. ¿o no sería ninguna?, ya que cada una de las figuras encontradas, siempre hablando en un plano, tendrían su correspondiente "rotada". El mismo caso, podría aplicarse a las figuras simétricas (a y c), entonces, teniendo en cuenta esto:

5 -¿Cuál sería, entonces, la cantidad de soluciones válidas del ejemplo? ¿tres?, ¿dos?, ¿una sola? o ¿ninguna?; ¿habrá una trampa de planteo?; si la hubiere, ¿cuál es la misma?

Una variante del acertijo original
TABLEROS BINARIOS

En el tablero de la izquierda hay doce fichas ubicadas de tal forma que hay dos en cada fila y columna. Para abreviar: es un tablero binario. Este tablero binario, se puede construir superponiendo convenientemente, dos tableros unitarios, en cada uno de los cuales hay una ficha en cada fila y columna.

¿Es cierto que cualquier tablero binario es la superposición de los tableros unitarios convenientes? La respuesta es SI, y una demostración posible es la siguiente.

Tenemos un tablero binario. Elija una ficha cualquiera y anote en ella el número 1. Moviéndose alternativamente en horizontal y vertical numere con 2, 3, 4, etc. todas las fichas que encuentre hasta volver al principio. Si quedan fichas sin numerar, elija una de ellas y repita el procedimiento. Siga así hasta que todas las fichas queden numeradas.

Uno de los tableros unitarios se forma con las fichas que lleven números pares y el otro con las fichas que llevan números impares.

6 -¿Existirá algún sistema, simetría mediante, que permita probar esto?

Cualquier respuesta a las cuestiones planteadas, favor de hacerlas llegar a la dirección electrónica mencionada al final. Muchas gracias.

NOTA: "Tableros Binarios", es una variante del juego, creación de Gustavo Piñeiro. Una especial mención para Jaime Poniachik, que tuvo la amabilidad de modificar, para mejor, la forma de planteo original del desafío y contra desafío, sin desvirtuar los mismos. A ellos dos: gracias mil.