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Presentación.

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El carbono.

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Estructura del buckminsterfulereno.

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Elementos y Operaciones de Simetría.

Página 4b:
Un ejemplo Resuelto

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La molécula de C₆₀.

Página 5b:
El empujoncito inicial

Página 5c:
La respuesta

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¿Qué tiene que ver la simetría con la química?



Día universal de la simetría
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Elementos y Operaciones de Simetría.

Antes de analizar la simetría del C₆₀, es necesario formalizar algunas ideas que todos manejamos en forma intuitiva.
Una operación de simetría es una operación que, realizada sobre un objeto, da lugar a una nueva orientación del objeto que es indistinguible de la original y superponible con ella. Si esto le resulta algo confuso no se desanime, los párrafos que siguen aclararán un poco más la situación. Las operación de simetría más sencilla es la identidad (E), que simplemente deja al objeto en su estado inicial, es decir, no hace nada. Esto puede parecer un capricho de los matemáticos, pero sin embargo, E tiene la misma importancia que el número 1 tiene en la multiplicación. Desde el punto de vista recreativo la identidad no tiene la menor gracia, asi que la dejaré de lado de aquí en más.

Si una molécula (u objeto) queda indistinguible luego de una rotación, posee un eje de rotación propio de grado n (este eje se escribe como 'eje Cn'). El subíndice n significa que debemos rotar la molécula 360°/n para dejarla indistinguible del estado inicial. Por ejemplo, si rotamos a la molécula de la figura 180° alrededor del eje que se muestra (eje C2), obtenemos la misma molécula de la cual partimos. De este modo, podemos decir que esta molécula posee un eje de simetría C2, o lo que es lo mismo, este eje es un elemento de simetría de esta molécula en particular.

Un cuadrado, por ejemplo, tiene un eje de simetría C4 que pasa por el centro y es perpendicular al plano de la figura. Si rotamos al cuadrado 90° (=360º/4) respecto de este eje, los vértices intercambian posiciones entre sí y la figura queda superponible al original. Un rectángulo, en cambio, deberá ser rotado 180° y tiene por lo tanto un eje C2. Ambas figuras tienen otros elementos de simetría además de los mencionados.

Otro tipo de operaciones de simetría son las reflexiones, donde se refleja la molécula a través de un plano. Si esta reflexión deja a la molécula invariable, dicho plano es un elemento de simetría de la molécula (los planos se designan con la letra σ).

La molécula del ejemplo anterior tiene dos planos de simetría. Uno de ellos contiene los centros de los tres átomos y 'corta' a cada esfera por la mitad. Este plano es paralelo al plano de su monitor. El otro, es perpendicular al primero, y contiene al eje C2 que se muestra en la figura. Este último es perpendicular al plano de su monitor, y 'corta' a la esfera azul por la mitad. Si imaginamos que este plano es un espejo, vemos que cada mitad de la molécula se refleja en la otra mitad.
El siguiente es otro ejemplo donde se observan planos de simetría. En esta molécula hipotética de cuatro átomos existen infinitos planos de simetría, uno de los cuales se muestra en la figura. ¿Se anima el lector a descubrir los restantes?

La operación llamada inversión consiste en mover cada átomo de la molécula en linea recta a través del centro de inversión (i) hacia el lado opuesto de la molécula.
Imaginemos una molécula donde cada átomo se ubica en los vértices de un hexágono.

Vemos que si trazamos una línea recta desde cada uno de los átomos a través del centro, y continuamos esta recta en la misma dirección, encontramos un átomo equivalente equidistante del centro. En otras palabras, si definimos el centro como el origen de un sistema cartesiano, la molécula tiene un centro de inversión si al mover cada átomo desde su posición inicial (x, y, z) hasta una nueva posición (-x, -y, -z), queda una molécula indistinguible de la original.
Como muestra la figura, un pentágono no tiene un centro de inversión, pues al realizar la operación correspondiente queda una molécula que no se superpone con la original.

Por último, las rotaciones impropias son operaciones de simetría donde se realiza una rotación propia (Cn) seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación. Los elementos de simetría correspondientes se llaman ejes de rotación impropios (Sn), donde el subíndice tiene el mismo significado que en el caso anterior.
Para más claridad analicemos la molécula de la figura, que tiene geometría tetraédrica y posee un eje de rotación S4. Para verificar que esto es cierto, primero aplicamos una rotación C4 (rotación de 90°) para obtener la situación de la figura central. A continuación, realizamos una reflexión a través de un plano perpendicular a este eje (marcado en amarillo en la figura). El resultado se muestra en el extremo derecho, y es indistinguible de la molécula original. Notar que el eje C4 no es un elemento de simetría de está molécula, pues la figura del centro no es superponible a la original de la izquierda. El plano marcado tampoco es elemento de simetría de esta molécula.

Si esta es su primera vez con estos conceptos, quizás prefiera jugar con un caso más sencillo antes de pasar al C₆₀. Le propongo que tome la molécula hexagonal del ejemplo de arriba y trate de encontrar todas las operaciones de simetría que pueda. El ejemplo de arriba muestra que el centro de inversión es un elemento de simetría en este caso. A ud. le resta encontrar los ejes de rotación (propios e impropios) y los planos de reflexión. Puede mirar la respuesta aquí.

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