En este pequeño trabajito intentaré recordar algunas cosas que he aprendido sobre la simetría y me han llamado la atención.

Mi primer contacto con esa palabra, «simetría», ocurrió un día de mi niñez, en que mi madre colocó dos candelabros en los extremos de un mueble de mi casa, se alejó para ver qué tal quedaban, y le pidió opinión a mi padre.
Éste opinó que no le gustaba la simetría que guardaban los adornos así dispuestos, cosa que bien mirada, puede parecer algo que no habla a favor de sus gustos, como el lector en breve tendrá que admitir.

Yo, que aún no había aprendido que la curiosidad es un hambre que no termina nunca, un prolegómeno del infierno (ahora lo sé, así como que estoy condenado), pregunté qué quería decir «simetría». Mi padre rápidamente me dio una muy buena explicación para alguien que no ha cumplido seis años, y mi madre puso los dos candelabros juntos, en un costado del mueble

Andando los años, me aficioné al uso del mataburros. Copio aquí del mejor que tengo:

SIMETRÍA (del gr. summetria; de sun, con, y metron, medida): f. Proporción de las partes de un todo entre sí y con el todo mismo.

Esto es lo que llama ad pondus
Nuestro Galeno, y dél consta
La igualdad y SIMETRÍA
Saludable y deleitosa
—TIRSO DE MOLINA.

Es (la antítesis) muy agradable por sí misma, por aquel gusto natural que tenemos de la SIMETRÍA; etc.
—JOVELLANOS.

SIMETRÍA: Armonía de posición de las partes ó puntos similares respecto unos de otros, y con referencia a punto, línea ó cuerpo determinado.

Después de esto, dedica un par de páginas a las acepciones geométrica y anatómica de la palabreja.

Por lo pronto, parece quedar claro que hay cierta relación entre simetría y belleza. Por eso decía que alguien podría pensar que mi padre no era hombre de buen gusto. Tal vez, y entonces yo tampoco lo soy. Los candelabros simétricos parecían cuernos en los extremos del sufrido mueble.

Recuerdo un caso en que la simetría es mala compañía:

Partida de ajedrez simétrica

Hace años, leí en una revista de ajedrez que un ingenuo aficionado le había dicho a un maestro: «Maestro, he hallado un método infalible para no perder partida alguna, aunque me enfrente a usted».El maestro preguntó cuál era ese método y el aficionado respondió: «Jugar con negras y hacer exactamente la misma jugada que hacen las blancas en cada turno».

El maestro se mostró impresionado, y le ofreció jugar un partido en que el aficionado, con negras, se comprometía a efectuar jugadas simétricas a las de él, que jugaría con blancas. Aceptó el aficionado y la partida se desarrolló así:

.

Esto lo leí hace años, y no recuerdo si la partida era exactamente así. ¿Será ésta la partida «simétrica» más corta posible?

El ajedrez es un juego muy difícil. Ahora viene a mi memoria un

Juego aburrido

Se juega en una mesa circular, entre dos jugadores por turnos. En cada turno, el jugador al que le toca jugar toma una moneda circular de un depósito ilimitado de monedas circulares, todas de igual radio, y la coloca sobre la mesa, de forma que la moneda quede totalmente apoyada. No puede quedar con una parte «en el aire» ni «montada» sobre otra moneda. Pierde el jugador que al tocarle el turno, no puede colocar su moneda reglamentariamente.
¿Existe una estrategia ganadora?

La respuesta es «sí», y viene de la mano de la simetría. El primer jugador puede ganar siempre, colocando su primera moneda en el centro de la mesa, y después colocando sus monedas «simetrizando» las jugadas del segundo jugador con respecto al centro de la mesa. Es obvio que el primer jugador siempre dispondrá de espacio para responder a una jugada de su rival, y como el juego necesariamente acaba en un número finito de jugadas, llegará el momento en que el segundo jugador no tenga espacio para hacer la suya.
En el diagrama siguiente se muestran las monedas del primer jugador en color verde y en rojo las del segundo jugador. Es el turno de éste último.

¿Qué sucede si el primer jugador no coloca la primera moneda en el centro de la mesa?

En la geometría

En geometría métrica, la palabra «simetría» es un término técnico, rigurosamente definido. Se refiere a un movimiento. Es interesante enterarse de que la cuestión de los movimientos marca una de las diferencias más importantes entre el clásico aunque imperfecto sistema axiomático de Euclides y los sistemas más modernos, surgidos de la revisión crítica de los fundamentos de la geometría. No interesa aquí explicitar ningún sistema axiomático, baste saber que el de Euclides no considera movimiento alguno, y los modernos lo hacen con todo rigor, y de diferentes maneras. Pero el hecho de que los Elementos no axiomaticen los movimientos no significa que su importancia sea escasa.

La proposición 4 del Libro 1 de los Elementos intenta demostrar que si dos triángulos tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre esos lados también es igual en los dos triángulos, entonces los dos triángulos son congruentes (Lo que en enseñanza secundaria suele llamarse 1er criterio de congruencia de triángulos). La demostración es esencialmente la misma que se da hoy, o sea, aplica un movimiento. Pero esto, en la obra de Euclides representa un fallo, ya que no tiene nada previo que le permita usar movimientos. Él dice: «Porque, si se aplica el triángulo ABC sobre el DEF...», pero en rigor no se sabe qué es «aplicar sobre». Lo curioso de todo esto es que la proposición siguiente, la 5, es una obra maestra. Demuestra que en un triángulo isósceles los ángulos a la base son iguales, y que los ángulos comprendidos por la base y las prolongaciones de los lados también son iguales. La demostración euclidiana es un derroche de ingenio y medianamente larga. En la Edad Media, esta proposición tomó el nombre de «Pons asinorum» (puente de los asnos), en parte aludiendo a la figura que acompaña a la demostración de Euclides, que recuerda un puente, y en parte aludiendo a su dificultad.

Decía que es curioso, porque Euclides podría haberse evitado todo ese lío echando mano al mismo recurso que en la proposición 4, a saber, «aplicando» el triángulo sobre sí mismo, o sea usando una simetría axial con eje en la altura a la base del triángulo, y la demostración era inmediata.

La figura que aparece en los Elementos no es exactamente así, aquí faltan un par de segmentos auxiliares que dan la idea del puente. Euclides podría haber dicho: «Aplicando el triángulo ABC sobre sí mismo, de modo que A coincida con B, B con A y C con C...», con lo que estaría usando una simetría axial, se habría ahorrado unos cuantos renglones.

Pero Euclides fue un geómetra excepcional, y le sacó todo el jugo posible a su sistema en lo que se propuso demostrar (si tienen dudas, vean cuántos murieron intentando demostrar el 5º postulado).

La simetría resulta ser una herramienta muy potente en muchos campos de la matemática. Para no salir del ámbito de la geometría, pondré aquí algunos problemas que están relacionados con algunas cuestiones de la matemática recreativa, en lo que se refiere a «caminos mínimos», no tanto por los resultados, sino por los métodos empleados en la demostración.

El primer problema es trivial pero fundamental:

En A y en B hay casas, y r es un río. Se quiere hallar el punto del río en que se debe colocar una bomba que extraiga agua y la impulse hacia las casas de modo que la longitud total de las cañerías sea mínima.

Geométricamente, lo que se requiere de hallar el punto C en r tal que AC+BC sea mínimo.

Considérese un punto cualquiera U sobre r, y sea A' el simétrico de A con respecto a r.

Entonces como AU=A'U, se cumple que AU+BU=A'U+UB. Para que esta distancia sea mínima, el punto U debe ubicarse en la recta BA', ya que el segmento de recta entre dos puntos representa el trayecto más corto entre ellos. Esto demuestra que el punto C buscado es la intersección de r con A'B.

El segundo problema, en el que se utiliza el mismo principio, es mucho más delicado, y la resolución que aquí se da, debida a Fejer, es una verdadera joyita.

Dado un triángulo acutángulo, inscribir en él el triángulo de perímetro mínimo.

La solución de Fejer es la siguiente: Sea ABC el triángulo dado, y UVW un triángulo arbitrario inscrito en ABC, según la figura. Simetrizando U con respecto a AC y a BC se obtienen U' y U''. Como UW=U'W y VU=VU'', se tiene que

U'W+WV+VU''=UW+WV+VU.

El miembro derecho de la igualdad es el perímetro del triángulo inscrito, y el izquierdo la longitud de la quebrada U'WVU''.

Consideremos entonces el siguiente problema: Ubicado el punto U sobre AB, ¿dónde deben ubicarse los restantes vértices del triángulo inscrito para que sea el de perímetro mínimo entre todos los de vértice en U? Según la discusión precedente, y del hecho de que fijado U en AB quedan determinados U' y U'', es claro que los restantes vértices deben ser S y T, intersección de UU'' con AC y BC, ya que el segmento de recta representa la trayectoria mínima entre dos puntos.

Ahora que sabemos, una vez dado U en BC cómo hallar el triángulo inscrito que lo tiene como vértice de perímetro mínimo, sólo resta averiguar dónde debe ubicarse U en BC para que el triángulo resultante sea de perímetro mínimo entre todos los inscritos.

Para esto, se observa que el triángulo U'CU'' es isósceles (sus lados U'C y CU'' son simétricos de CU) y que el ángulo U'CU'' es constante, independiente de la posición de U en BC e igual a 2 veces el ángulo ACB. Este hecho respecto al ángulo U'CU'' se puede demostrar así:

ang U'CA = ang ACU; ang BCU''= ang UCB, debido a la simetría.

ang U'CU'' = ang U'CA + ang ACU + ang UCB + ang BCU'' =
= 2 ang ACU + 2 ang UCB = 2 (ang ACU + ang UCB) = 2 ang ACB.

Entonces tenemos el triángulo isósceles U'CU'', con ángulo opuesto a la base constante, del cual queremos minimizar la base (que tiene la misma longitud que el perímetro del triángulo inscrito). En estas condiciones, la base de U'CU'' será mínima cuando lo sean sus lados iguales, que a su vez tienen la misma medida que el segmento CU.

Es evidente que para que CU sea mínimo, hay que escoger U en el pie de la perpendicular a AB por C, o sea U debe ser pie de una de las alturas del triángulo.

El mismo razonamiento se puede aplicar a los otros vértices del triángulo inscrito, con lo que resulta que los vértices de éste deben de ser los pies de las alturas del triángulo ABC, o sea, el triángulo pedido es el triángulo órtico del ABC.

No usé explícitamente el hecho de que ABC era acutángulo. ¿Dónde es necesaria esa cualidad de ABC?

Es llamativo el hecho de que los griegos no hayan descubierto algunas cosas elementales, como por ejemplo la recta de Euler. A veces me he preguntado si se debió a que no manejaron con soltura el concepto de movimiento. Por otro lado, es clarísimo que el arte griego fue soberbio, y vaya si sus arquitectos tenían idea de las potencialidades de la simetría. Pero no sé de eso nada interesante, como de tantas otras cosas.

En las representaciones pictóricas

Un artista moderno cuya obra me parece fascinante es Mauritius Escher. Me gustaría compartir aquí algunos de sus trabajos, en los que se puede ver lo que pudo extraer de la simetría.

El primer trabajo suyo que me gustaría mostrar se llama «Día y noche» y es, casi seguramente, la obra más conocida de nuestro artista.

Creo que aunque esta reproducción no es muy buena, huelgan comentarios. Mirando abajo, en el centro del grabado, un campo de cultivo oscuro se transforma en dos pasos en pájaro y vuela hacia el paisaje soleado de la izquierda. Simétricamente, lo mismo ocurre con un campo de cultivo claro. Una obra maestra, no sólo por la simetría sino por el teselado.

La siguiente obra es un grabado llamado Límite circular IV. Sería una irreverencia admirar en él sólo la simetría. Se trata de un teselado no euclidiano que hasta se presta para fáciles divagaciones sobre el bien y el mal.

En las letras

La simetría, en las letras, aparece en infinidad de circunstancias. Por ejemplo, en retórica se llama mimesis a una forma de ironía que consiste en la imitación de lo que otro dijo, o pudo haber dicho. Creo que es el primer recurso que usan para burlarse los niños, aunque no sepan que están haciendo algo que tiene un nombre tan importante. Mimesis hacen todos los cómicos que imitan a personajes públicos. En las letras, se trata sobre todo de una imitación de estilo y vocabulario, una simetrización que intenta dejar en ridículo a otro.
El ejemplo que voy a poner está extraído de un episodio famoso en la historia de la Literatura Castellana. Es sabido que uno de los productos del Siglo de Oro español fue el culteranismo, una forma de concebir la poesía que usaba un lenguaje rebuscado, metáforas en profusión y usaba con muchísima libertad el hipérbaton.

Se lo asocia principalmente con Góngora, el más grande representante del culteranismo. Vean cómo empiezan sus Soledades (que, dicho sea de paso, alguien ha dicho de ellas que son «poesías sin tema»):

Era del año la estación florida
en que el mentido robador de Europa
(media luna las armas de su frente,
y el sol todos los rayos de su pelo),
luciente honor del cielo,
en campos de zafiro pace estrellas:
cuando el que ministrar podía la copa
a Júpiter mejor que el garzón de Ida,
-náufrago y desdeñado, sobre ausente-
lagrimosas de amor dulces querellas
da al mar, que, condolido,
fue a las ondas, fue al viento
el mísero gemido,
segundo de Arión dulce instrumento.

Don Francisco de Quevedo odiaba el culteranismo, y odiaba a Góngora.
Vean el comienzo de «Aguja de navegar cultos», simetría despiadada.

AGUJA DE NAVEGAR CULTOS

CON LA RECETA PARA HACER "SOLEDADES" EN UN DÍA, Y ES PROBADA; CON LA ROPERÍA DE VIEJO DE ANOCHECERES Y AMANECERES; Y LA PLATERÍA DE LAS FACCIONES PARA REMENDAR ROMANCES DESARRAPADOS.

RECETA

Quien quisiere ser culto en solo un día,
la jeri (aprenderá) gonza siguiente:
fulgores, arrogar, joven, presiente,
candor, construye, métrica, armonía;
poco, mucho, si no, purpuracía,
neutralidad, conculca, erige, mente,
pulsa, ostenta, librar, adolescente,
señas, traslada, pira, frustra, harpía;
cede, impide, cisuras, petulante,
palestra, liba, meta, argento, alterna,
si bien, disuelve, émulo, canoro.
Use mucho de líquido y de errante,
su poco de noturno y de caverna,
anden listos livor, adunco, y poro;
que ya toda Castilla,
con sola esta cartilla,
se abrasa de poetas babilones
escribiendo sonetos confusiones;
y en la Mancha, pastores y gañanes,
atestadas de ajos las barrigas,
hacen ya cultedades como migas.

EJEMPLO HERMAFRODITO

ROMANCE-LATÍN

Yace cláusula de perlas
si no rima de clavel,
dinasta de la belleza
que ya cataclismo fue.
Un tugurio de piropos,
ojeriza de Zalé,
poca porción que secresta
corusca favila al bien.
Pórtico donde rubrica
al múrice tyrio el ver
tutelar padrón del alma,
aura genitiva en él.

Y para finalizar este insufrible trabajo y hacer honor al genio de Góngora, que fue inmenso, una estrofa de una de sus letrillas, en que campean la simetría y los juegos de palabras:

Cruzados hacen cruzados,
escudos pintan escudos,
y tahúres muy desnudos
con dados ganan condados;
ducados dejan ducados,
y coronas majestad,
¡verdad!